祖暅在刘徽研究牟合方盖的基础上,继续新的探索,最终建立了球积公式。他们的共同研究成果,我们称之为“刘·祖原理”。
所谓“牟合方盖”,是以棱长为一寸的立方体八枚,合之则棱长为二寸的立方体。
又以过立方体中之二正圆柱垂直相贯并内切于立方体之相应侧面。
则二内切于立方体的两垂直贯的正圆柱的共同部分,就叫“牟合方盖”。这是由于这个立体的外形似两把上下对称的正方形雨伞。
在这个立体里面，可以内切一个半径和原来圆柱体一样大小的球体。
刘徽指出，由于内切圆的面积和外切正方形的面积之比为π:4（见图）所以球体体积与“牟合方盖”的体积之比亦应为π:4。
显然,只要求出牟合方盖的体积，那么球体积便迎刃而解。可惜的是，刘徽功亏一篑，未能求出牟合方盖的体积。
二百年后，能实现刘徽愿望的人终于出现了。他就是祖暅！祖暅是南北朝时代大数学家祖冲之的儿子。祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算，他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一来研究。
设OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r，则OS=OQ=r，由勾股定理，不难证明等高处阴影部分的面积总相等。所以，有理由相信，虽然方锥跟小正立方体去掉小“牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了。于是他提出了著名的原理：“缘幂势既同，则积不容异。”再根据刘徽的想法，可求出球体体积公式。
下图是《立几画板》制作：
牟合方盖的三视图：（三视图中三个等圆的是球，两方一圆的是圆柱，两圆一方是牟合方盖）
